Trece monedas para tres hermanos

Lectura matemática de la situación, paso a paso

1. Identificar lo fijo y lo variable. Hay exactamente 13 monedas y tres denominaciones: $100, $200 y $500. Debe aparecer al menos una moneda de cada denominación. Lo que puede variar es cuántas monedas hay de cada tipo y, por tanto, cuánto dinero hay en total.
2. Definir las variables. Sea a la cantidad de monedas de $100, b la cantidad de monedas de $200 y c la cantidad de monedas de $500. Sea T el dinero total y q lo que recibiría cada hermano.
3. Traducir “al menos una de cada denominación”. Las cantidades deben ser enteros positivos: a,b,c∈ℤ y a≥1, b≥1, c≥1. No se permite usar cero monedas de alguna denominación.
4. Traducir “exactamente 13 monedas”. Al contar todas las monedas se obtiene la primera ecuación: a+b+c=13.
5. Expresar el dinero total. Las a monedas de $100 aportan 100a; las b de $200 aportan 200b; y las c de $500 aportan 500c. Por eso T=100a+200b+500c.
6. Traducir el reparto exacto. Si los tres hermanos reciben la misma cantidad y no sobra dinero, el total debe ser tres veces una cantidad entera q: T=3q. Esto equivale a pedir que T sea divisible entre 3.
7. Reunir las condiciones. El modelo queda formado por el sistema siguiente, junto con la condición de positividad.

Encontrar un solo caso que satisfaga el sistema demuestra que el reparto es posible. Sin embargo, para responder cuántas composiciones existen hace falta organizar todos los casos o deducir una condición general.

Primera estrategia: tanteo organizado

El tanteo no consiste en adivinar sin orden. Se fijan valores de manera sistemática, se comprueba cada condición y se registra el resultado para no repetir casos.

1. Escoger un valor positivo para a.
2. Escoger un valor positivo para b.
3. Calcular c=13-a-b. Si c<1, ese intento no cumple la condición de tener una moneda de cada denominación.
4. Calcular T=100a+200b+500c.
5. Dividir T entre 3. Si el resto es 0, el reparto es exacto y q=T÷3. Si el resto es 1 o 2, el caso no sirve para el reparto, aunque sí use 13 monedas.
6. Variar ordenadamente b; después cambiar a y repetir. Registrar cada intento en una tabla permite comparar y buscar patrones.

Ejemplo que no produce reparto exacto

Si a=1 y b=1, entonces c=13-1-1=11. Hay 13 monedas, pero:

Queda un resto de $1, por lo que el dinero no puede repartirse exactamente entre los tres hermanos.

Ejemplo que sí produce reparto exacto

Si a=2 y b=1, entonces c=13-2-1=10. En este caso:

El resto es 0 y cada hermano recibe $1.800. Al continuar la tabla se observa un patrón en los valores de a; ese patrón todavía debe justificarse.

Segunda estrategia: resolución mediante congruencias

Las congruencias permiten estudiar la divisibilidad sin calcular y dividir cada total por separado.

1. Expresar la condición de reparto. Se necesita T≡0 (mod 3).
2. Calcular los restos de las denominaciones. Como 100=3(33)+1, se tiene 100≡1 (mod 3). Como 200=3(66)+2, 200≡2 (mod 3). Como 500=3(166)+2, 500≡2 (mod 3).
3. Reducir la expresión del total. Sustituyendo cada denominación por su resto:

4. Usar la ecuación de las 13 monedas. De a+b+c=13 se deduce b+c=13-a.
5. Sustituir y simplificar.

6. Imponer resto cero. Para que el reparto sea exacto se requiere 2-a≡0 (mod 3). Por tanto, a≡2 (mod 3).
7. Aplicar las restricciones. Como debe quedar al menos una moneda para b y otra para c, se cumple 1≤a≤11. Los valores de ese intervalo congruentes con 2 módulo 3 son a∈{2,5,8,11}.
8. Contar las composiciones. Para cada valor de a, se tiene b+c=13-a. Si dos enteros positivos suman s, existen s-1 pares ordenados. Así se obtienen 10 pares cuando a=2, 7 cuando a=5, 4 cuando a=8 y 1 cuando a=11.

La congruencia demuestra que esos casos funcionan y que no falta ningún otro; la tabla tecnológica permite comprobar visualmente la misma caracterización.